Afinal, é uma xícara ou uma rosquinha ?

No post anterior eu ilustrei um caso matemático interessante: topologicamente uma rosquinha é igual a uma xícara.

A demonstração apresentada em forma de uma animação era de fato apenas uma ilustração dos resultados estudados em Topologia Algébrica, uma subárea da topologia na qual estudam-se a Classificação das superfícies.

A seguir uma explicação matemática um pouco (mas nem tanto) detalhada.

Classificação das superfícies:

A classificação das superfícies foi feita no século XIX. Nessa teoria, as superfícies são vistas por suas propriedades mais intrínsecas, que não variam sob deformações, diferentemente da Geometria, que se preocupa com a forma exata dos objetos no espaço.

A seguir temos as principais definições para compreender o teorema de classificação de superfícies.

Definição(Bordo): Algumas superfícies têm bordo, enquanto outras não têm. O bordo constitui-se de uma ou mais curvas fechadas simples no espaço, formando nós ou enlaces. As superfícies podem também ter "dois lados" (orientáveis) ou "apenas um lado" (não orientáveis).

Definição(Característica de Euler): A característica de Euler (χ) pode ser obtida a partir de qualquer divisão da superfície em triângulos (triangulação) . Contando-se faces (F), arestas (A) e vértices (V) da triangulação, calcula-se o número χ = F − A + V. É possível mostrar que esse número não depende da triangulação escolhida.

Teorema: Duas superfícies fechadas e limitadas são equivalentes se, e somente se, tiverem o mesmo número de componentes de bordo, a mesma orientabilidade e a mesma característica de Euler.

Isto significa que essas três informações determinam completamente de que superfície se trata.

Fonte: Matemateca - IME-USP