sábado, 7 de fevereiro de 2009

A garrafa de Klein

Conhecida por suas "propriedades estranhas", a Garrafa de Klein é um objeto matemático que vivem em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço 3D.
A garrafa de Klein é um exemplo de uma superfície não orientável, isto é uma variedade dois dimensional que não possui interior ou exterior. Outros objetos não orientávies conhecidos são a faixa de Mobius e o plano real projetivo. A seguir vamos fazer algumas considerações sobre a Garrafa de Klein e por fim uma comparaçao com a Faixa de Mobius (vídeo).

Felix Klein:
A Garrafa de Klein foi estudada em 1882 pelo matemático alemão Felix Klein. Embora Klein tenha trabalhado em vários assuntos, como teoria das funções e física matemática, sua principal contribuição foi na área da geometria. Em 1871 descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projectiva, o que tornava equivalente a consistência das duas geometrias. Ainda no campo da geometria, Klein estudou a hoje chamada garrafa de Klein, uma superfície fechada não orientável.

Construção da Garrafa de Klein:

O Diagrama ao lado mostra um quadrado, para construir a Garrafa de Klein cole as bodas azuis e vermelhas conforme a orientação das bordas. Precisamente, a Garrafa de Klein é o espaço quociente descrito como o quadrado [0,1] × [0,1], com as faces identificadas pelas relações:
(0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1
( x, 0) ~ (1 - x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1


Veja a seguir o vídeo com a construção da Garrafa de Klein.



Observações:

Usando esse "resumo" de colagem em um espaço de três dimensões obteremos uma superfície com auto-intersecção. Uma maneira de evitar essa auto-intersecção seria visualizar a Garrafa de Klein em um espaço de quatro dimensões. Ao adicionar uma quarta dimensão para o espaço tridimensional, a auto-intersecção pode ser eliminada deslocando suavemente o pedaço do tubo que contém a intersecção para fora do espaço tridimensional (para a quarta dimensão) .

Uma analogia útil: considere uma curva com auto-intersecção sobre o plano, as auto-intersecções podem ser eliminadas retirando (levantando) do plano uma pequena região onde ocorre a auto-intersecção.

A visualização da Garrafa de Klein no espaço 3D na realidade é uma imersão. Essa imersão será útil para visualizar algumas propriedades da garrafa de Klein.

Propriedades:

Uma garrafa de Klein é um espaço topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius. Em síntese a Garrafa de Klein é uma superfície: compacta, conexa, não orientável e sem fronteira.

Sobre essa construção, eu achei um pequeno poema (limerick):
"O matemático chamado Klein
Pensava que a faixa de Möbius era divina.
Disse ele: "Se você colar
Os dois bordos da faixa,
Você criará uma garrafa estranha assim como eu."
Uma curiosidade:

Seis cores são suficientes para colorir qualquer mapa na superfície de uma garrafa Klein. Esta é a única excepção à conjectura de Heawood (uma generalização do teorema das quatro cores) que exigiria sete cores.

2 comentários:

  1. Considerando que, em todo post desse blog, eu entendo cerca de 2% do conteúdo, o q eu tenho a dizer é que eu adorei o vídeo!

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  2. a fisica, a matematica a astronomia, é como a musica: me aconteceu com um dos livros de s. hawking, o universo numa cascara de noz. Li, me maravilhei, de alguma maneira entendi tudo, mas se me pedirem para explicar, nao consigo. Como escutar uma obra de strawinsky, sibelius ou stockhausen, disfrutar, se emocionar, mas depois querer assobiar... assim, juliana não sofra, curta e seja feliz!

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Gabriel Dias Pais

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