A música e a matemática

A música é freqüentemente definida como a linguagem universal. Uma linguagem incrivelmente direta que transpoe língua e lógica, que fala diretamente com a alma. A matemática por sua vez é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa.

Observando apenas os significados podemos ter a falsa sensação de dois mundos desconexos. Hoje sabemos que a propagação do som obedece equações matemáticas e existem relações diretas entre escalas, tons, semi-tons e os conhecidos conceitos matemáticos de razão, proporção, sequência logarítma entre outros.

A seguir um documentário exibido na TV Cultura sobre a história dessa relação entre a música e matemática. Eu achei muito interessante a abordagem pois não requer conhecimentos prévios de música ou matemática.


Instruções: siga o lik para o youtube para assistir o documentário completo (36min divididos em 7 partes). Aqui. E depois volte ao blog para ler os comentários de um matemático músico.

Matemática x Música. Desde quando ?

Logo no começo, o documentário apresenta de forma bastante informal a visão de alguns músicos sobre a relação: matemática e música. É engraçada como essa visão é abordada, a música não é relacionada com a matemática pela simples contagem do tempo ! Aqui veremos que a relação entre a música e a matemática é intensa e antiga. Muitas pessoas contribuiram para a construção musical que temos hoje. Duas pessoas na minha opnião merecem lugar de destaque: Pitágoras e Bach. Vamos conhecê-los.

Pitágoras

Pitágoras, o velho e conhecido pitágoras do triãngulo. Pela primeira vez na história ele estabeleceu uma relação matemática entre os diversos sons. A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a uma relação de frequência de 2:1, uma quinta em 3:2, uma quarta em 4:3, e um tom em 9:8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de fios de corda em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar matematicamente a entonação de todo um sistema musical. Os pitagóricos viam estas razões como governando todo o Cosmos assim como o som, e Platão descreve em sua obra, Timeu, a alma do mundo como estando estruturada de acordo com estas mesmas razões. Para os pitagóricos, assim como para platão, a música se tornou uma natural extensão da matemática, bem como uma arte. A matemática e as descobertas musicais de Pitágoras foram, desta forma, uma crucial influência no desenvolvimento da música através da idade média na Europa. A seguir a representação da chamada escala pitagórica.

Observe que a escala pitagórica forma uma espiral e assim diferentes oitavas tem diferentes afinações.

A criação das escalas pitagóricas não foram suficientes, e com o passar do tempo e com o desenvolvimento da música utilizando-se modulação e transposição, tornou-se necessária a adequação da escala musical. Embora várias idéias tenham sido apresentadas, a escala musical que solucionou de forma mais satisfatória todos os problemas das anteriores foi a escala igualmente temperada ou, simplesmente, escala temperada. A seguir a representação da escala temperada. Observe que ela forma um círculo e portanto diferentes oitavas tem o mesmo tipo de afinação.

Essa escala possui como característica fundamental o fato da relação matemática entre as freqüências de notas de um mesmo intervalo ser sempre igual, ou seja, a proporção entre as freqüências de duas notas distantes uma da outra de um semitom é sempre a mesma, não importando quais duas notas sejam (ex: C e C# ou G e G#). O temperamento igual foi proposto em 1691, por Andreas Werkmeister.

Bach

Nessa época Johann Sebastian Bach, músico e compositor que dispensa apresentações, escreveu uma série de 24 prelúdios e fugas, cobrindo as 24 tonalidades maiores e menores, chamada de O Cravo Bem-Temperado. Este certamente foi o primeiro trabalho que se tem registro que explora todas as tonalidades, apresentado logo após a proposta de Werkmeister. A maioria dos livros registra que J.S. Bach era um entusiasta do temperamento igual nas doze notas da escala musical e isso teria o motivado a escrever a série de prelúdios. Bach escreveu muitas das suas músicas para a igreja luterana, em particular as suas cantatas forma compostas para as missas dominicais e cerimônias de sexta-feira santa. Entre as características sobressalentes de J. S. Bach encontra-se o domínio de complexos e engenhosos contrapontos. Bach tinha um estilo próprio de compôr, segundo os especialistas uma composição quase matemática. A oferenda musical de Bach está recheada de interessantes peculiaridades.

"Bach (riacho, em alemão) deveria se chamar Ozean (oceano) e não Bach!" Beethoven.

Particularmente, eu concordo com Beethoven pois a contrinuição de Bach para a música faz jus a imesidão de um oceano.

Quem sou eu? Músico e matemático. Começei meus estudos musicais em 1993, na época com 8 anos estudei teoria musical e solfejo, tão logo eu adquiri conhecimentos mínimos eu começei a estudar violino com Sergio Vanzzola na minha cidade natal Osasco. Participei de orquestras juvenis (Projeto Guri) e Orquetras Jovens (Orq Jovem de Barueri e Villa Lobos). Meu interesse por música sempre foi amplo e na adolescência decidi também estudar piano, violão clássico e viola. Nunca exerci a música como profissão apesar de eventualmente dar aulas. Em 2005 ingressei no curso de Bacharelado em Matemática na Universidade de São Paulo - USP, morando em São Carlos desde então sou integrante do Coral Multicanto (voz tenor). Estou terminando minha graduação e espero um dia ter tempo para me dedicar mais a música.

Bibliografia recomendada

Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes (geralmente chamado GEB) é um livro vencedor do Prémio Pulitzer escrito pelo acadêmico norte-americano Douglas Hofstadter. Foi publicado em 1979 pela Basic Books. Edição traduzida para Português em 2001 por José Viegas Filho.

Tanto em teoria musical como em equações diferenciais existem materiais em abundância para quem quiser aprofundar seus conhecimentos nessa relação tão especial, música e matemática. Para quem quiser entender um pouco mais sobre teoria musical eu recomendo o livro de Osvaldo Lacerda, para divisão musical o Pozzoli e para solfejo o tradicional Bona. Para equações diferenciais eu recomendo o livro de Valeria Iório publicação do IMPA.

DOWNLOADS
Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes
Método de solfejo Bona
Divisão musical Pozzoli
Teoria musical Osvaldo Lacerda