A garrafa de Klein

Conhecida por suas "propriedades estranhas", a Garrafa de Klein é um objeto matemático que vivem em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço 3D.

A garrafa de Klein é um exemplo de uma superfície não orientável, isto é uma variedade dois dimensional que não possui interior ou exterior. Outros objetos não orientávies conhecidos são a faixa de Mobius e o plano real projetivo. A seguir vamos fazer algumas considerações sobre a Garrafa de Klein e por fim uma comparaçao com a Faixa de Mobius (vídeo).

Felix Klein:

A Garrafa de Klein foi estudada em 1882 pelo matemático alemão Felix Klein. Embora Klein tenha trabalhado em vários assuntos, como teoria das funções e física matemática, sua principal contribuição foi na área da geometria. Em 1871 descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projectiva, o que tornava equivalente a consistência das duas geometrias. Ainda no campo da geometria, Klein estudou a hoje chamada garrafa de Klein, uma superfície fechada não orientável.

Construção da Garrafa de Klein:

O Diagrama ao lado mostra um quadrado, para construir a Garrafa de Klein cole as bodas azuis e vermelhas conforme a orientação das bordas. Precisamente, a Garrafa de Klein é o espaço quociente descrito como o quadrado [0,1] × [0,1], com as faces identificadas pelas relações:

(0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1
( x, 0) ~ (1 - x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1

Veja a seguir o vídeo com a construção da Garrafa de Klein.



Observações:

Usando esse "resumo" de colagem em um espaço de três dimensões obteremos uma superfície com auto-intersecção. Uma maneira de evitar essa auto-intersecção seria visualizar a Garrafa de Klein em um espaço de quatro dimensões. Ao adicionar uma quarta dimensão para o espaço tridimensional, a auto-intersecção pode ser eliminada deslocando suavemente o pedaço do tubo que contém a intersecção para fora do espaço tridimensional (para a quarta dimensão) .

Uma analogia útil: considere uma curva com auto-intersecção sobre o plano, as auto-intersecções podem ser eliminadas retirando (levantando) do plano uma pequena região onde ocorre a auto-intersecção.

A visualização da Garrafa de Klein no espaço 3D na realidade é uma imersão. Essa imersão será útil para visualizar algumas propriedades da garrafa de Klein.

Propriedades:

Uma garrafa de Klein é um espaço topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius. Em síntese a Garrafa de Klein é uma superfície: compacta, conexa, não orientável e sem fronteira.

Sobre essa construção, eu achei um pequeno poema (limerick):

"O matemático chamado Klein
Pensava que a faixa de Möbius era divina.
Disse ele: "Se você colar
Os dois bordos da faixa,
Você criará uma garrafa estranha assim como eu."

Uma curiosidade:

Seis cores são suficientes para colorir qualquer mapa na superfície de uma garrafa Klein. Esta é a única excepção à conjectura de Heawood (uma generalização do teorema das quatro cores) que exigiria sete cores.