A música e a matemática

A música é freqüentemente definida como a linguagem universal. Uma linguagem incrivelmente direta que transpoe língua e lógica, que fala diretamente com a alma. A matemática por sua vez é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa.

Observando apenas os significados podemos ter a falsa sensação de dois mundos desconexos. Hoje sabemos que a propagação do som obedece equações matemáticas e existem relações diretas entre escalas, tons, semi-tons e os conhecidos conceitos matemáticos de razão, proporção, sequência logarítma entre outros.

A seguir um documentário exibido na TV Cultura sobre a história dessa relação entre a música e matemática. Eu achei muito interessante a abordagem pois não requer conhecimentos prévios de música ou matemática.


Instruções: siga o lik para o youtube para assistir o documentário completo (36min divididos em 7 partes). Aqui. E depois volte ao blog para ler os comentários de um matemático músico.

Matemática x Música. Desde quando ?

Logo no começo, o documentário apresenta de forma bastante informal a visão de alguns músicos sobre a relação: matemática e música. É engraçada como essa visão é abordada, a música não é relacionada com a matemática pela simples contagem do tempo ! Aqui veremos que a relação entre a música e a matemática é intensa e antiga. Muitas pessoas contribuiram para a construção musical que temos hoje. Duas pessoas na minha opnião merecem lugar de destaque: Pitágoras e Bach. Vamos conhecê-los.

Pitágoras

Pitágoras, o velho e conhecido pitágoras do triãngulo. Pela primeira vez na história ele estabeleceu uma relação matemática entre os diversos sons. A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a uma relação de frequência de 2:1, uma quinta em 3:2, uma quarta em 4:3, e um tom em 9:8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de fios de corda em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar matematicamente a entonação de todo um sistema musical. Os pitagóricos viam estas razões como governando todo o Cosmos assim como o som, e Platão descreve em sua obra, Timeu, a alma do mundo como estando estruturada de acordo com estas mesmas razões. Para os pitagóricos, assim como para platão, a música se tornou uma natural extensão da matemática, bem como uma arte. A matemática e as descobertas musicais de Pitágoras foram, desta forma, uma crucial influência no desenvolvimento da música através da idade média na Europa. A seguir a representação da chamada escala pitagórica.

Observe que a escala pitagórica forma uma espiral e assim diferentes oitavas tem diferentes afinações.

A criação das escalas pitagóricas não foram suficientes, e com o passar do tempo e com o desenvolvimento da música utilizando-se modulação e transposição, tornou-se necessária a adequação da escala musical. Embora várias idéias tenham sido apresentadas, a escala musical que solucionou de forma mais satisfatória todos os problemas das anteriores foi a escala igualmente temperada ou, simplesmente, escala temperada. A seguir a representação da escala temperada. Observe que ela forma um círculo e portanto diferentes oitavas tem o mesmo tipo de afinação.

Essa escala possui como característica fundamental o fato da relação matemática entre as freqüências de notas de um mesmo intervalo ser sempre igual, ou seja, a proporção entre as freqüências de duas notas distantes uma da outra de um semitom é sempre a mesma, não importando quais duas notas sejam (ex: C e C# ou G e G#). O temperamento igual foi proposto em 1691, por Andreas Werkmeister.

Bach

Nessa época Johann Sebastian Bach, músico e compositor que dispensa apresentações, escreveu uma série de 24 prelúdios e fugas, cobrindo as 24 tonalidades maiores e menores, chamada de O Cravo Bem-Temperado. Este certamente foi o primeiro trabalho que se tem registro que explora todas as tonalidades, apresentado logo após a proposta de Werkmeister. A maioria dos livros registra que J.S. Bach era um entusiasta do temperamento igual nas doze notas da escala musical e isso teria o motivado a escrever a série de prelúdios. Bach escreveu muitas das suas músicas para a igreja luterana, em particular as suas cantatas forma compostas para as missas dominicais e cerimônias de sexta-feira santa. Entre as características sobressalentes de J. S. Bach encontra-se o domínio de complexos e engenhosos contrapontos. Bach tinha um estilo próprio de compôr, segundo os especialistas uma composição quase matemática. A oferenda musical de Bach está recheada de interessantes peculiaridades.

"Bach (riacho, em alemão) deveria se chamar Ozean (oceano) e não Bach!" Beethoven.

Particularmente, eu concordo com Beethoven pois a contrinuição de Bach para a música faz jus a imesidão de um oceano.

Quem sou eu? Músico e matemático. Começei meus estudos musicais em 1993, na época com 8 anos estudei teoria musical e solfejo, tão logo eu adquiri conhecimentos mínimos eu começei a estudar violino com Sergio Vanzzola na minha cidade natal Osasco. Participei de orquestras juvenis (Projeto Guri) e Orquetras Jovens (Orq Jovem de Barueri e Villa Lobos). Meu interesse por música sempre foi amplo e na adolescência decidi também estudar piano, violão clássico e viola. Nunca exerci a música como profissão apesar de eventualmente dar aulas. Em 2005 ingressei no curso de Bacharelado em Matemática na Universidade de São Paulo - USP, morando em São Carlos desde então sou integrante do Coral Multicanto (voz tenor). Estou terminando minha graduação e espero um dia ter tempo para me dedicar mais a música.

Bibliografia recomendada

Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes (geralmente chamado GEB) é um livro vencedor do Prémio Pulitzer escrito pelo acadêmico norte-americano Douglas Hofstadter. Foi publicado em 1979 pela Basic Books. Edição traduzida para Português em 2001 por José Viegas Filho.

Tanto em teoria musical como em equações diferenciais existem materiais em abundância para quem quiser aprofundar seus conhecimentos nessa relação tão especial, música e matemática. Para quem quiser entender um pouco mais sobre teoria musical eu recomendo o livro de Osvaldo Lacerda, para divisão musical o Pozzoli e para solfejo o tradicional Bona. Para equações diferenciais eu recomendo o livro de Valeria Iório publicação do IMPA.

DOWNLOADS
Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes
Método de solfejo Bona
Divisão musical Pozzoli
Teoria musical Osvaldo Lacerda

O Teorema de Fermat-Wiles

O último teorema de Fermat, assim como ficou conhecido, se originou de uma pequena observação escrita por Fermat às margens de uma tradução do Arithmetica de Diofanto.

Teorema [Último teorema de Fermat]: não existem inteiros x,y,z tais que xⁿ + yⁿ = zⁿ para n>2.

O caso em que n=2 é conhecido como Teorema de Pitágoras e diz que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa. Existem obviamente infinitas soluções para esse caso, (3,4,5) é o exemplo mais comum. No entanto se na equação acima trocar a potência 2 por 3, não existem x,y,z que satisfaçam a igualdade. Trocando novamente a potência 3 por 4 e assim por diante Fermat observou que obtinha equações que não tinham soluções. Assim surgiu a conjectura¹.

Após suas conclusões Fermat deixou indícios que saberia demostrar a sua conjectura nas margens de seu livro.

"Encontrei uma demonstração verdadeiramente maravilhosa disto, mas esta margem é estreita demais para contê-la."

A partir daquele momento, nascia o problema que iria confundir e frustrar os matemáticos mais brilhantes do mundo por mais de 350 anos. O último teorema de Fermat, tornou-se o Santo Graal da matemática.

A fama do último teorema de Fermat deriva unicamente da tremenda dificuldade em demonstrá-lo. No entanto, os comentários de Fermat na margem do seu livro serviam como um desafio ao mundo. Este problema é imensamente difícil e, no entanto, pode ser enunciado de uma forma que qualquer estudante possa entender. À medida em que os anos foram se passando, mais e mais matemáticos brilhantes se viram derrotados e frustrados por fracassarem em sua prova: o último teorema de Fermat ganhava notoriedade.

Pierre de Fermat foi o matemático mais importante de sua época no entanto nunca teve formalmente a matemática como a principal atividade de sua vida. Jurista e magistrado por profissão, dedicava à Matemática apenas suas horas de lazer.

"Fermat é um fanfarrão." (Descartes)

Uma prova elegante em matemática é uma prova pequena e simples. Em 1995, Andrew Wiles um matemático britânico demonstrou o último teorema de Fermat usando uma matemática avançadíssima e nada elegante.

Supondo que Fermat soubesse a solução, (existem pessoas que desconfiam que Fermat era realmente um fanfarrão), haveria uma demonstração mais simples para o último teorema, usando os conhecimentos matemáticos do século XVII. Mas isto é um outro problema...

Assista a seguir um documentário excelente da BBC sobre o Último Teorema de Fermat.

Quem não conseguir assistir baixe o vídeo no link abaixo
http://www.4shared.com/file/87858258/d6972aa5/fermat.html

Observações

Este teorema não tem aplicação nenhuma per se: ele toma um valor importante, no entanto, devido às idéias e às ferramentas matemáticas que foram inventadas e desenvolvidas para prová-lo. Pode-se entender este teorema graficamente considerando-se a curva da equação
xⁿ + yⁿ = 1 quando n > 2, essa curva não passa por nenhum ponto com coordenadas racionais diferentes de zero.

Glossário

1. Em matemática uma conjectura é uma conclusão que apesar de não ter sido demonstrada, isto é ainda não existe uma prova, parece ser uma verdade incontestável pois de alguma forma não existem contra-exemplos para invalidar a tese.

A garrafa de Klein

Conhecida por suas "propriedades estranhas", a Garrafa de Klein é um objeto matemático que vivem em um espaço de quatro dimensões embora possa ser visualizado em um espaço 3D.

A garrafa de Klein é um exemplo de uma superfície não orientável, isto é uma variedade dois dimensional que não possui interior ou exterior. Outros objetos não orientávies conhecidos são a faixa de Mobius e o plano real projetivo. A seguir vamos fazer algumas considerações sobre a Garrafa de Klein e por fim uma comparaçao com a Faixa de Mobius (vídeo).

Felix Klein:

A Garrafa de Klein foi estudada em 1882 pelo matemático alemão Felix Klein. Embora Klein tenha trabalhado em vários assuntos, como teoria das funções e física matemática, sua principal contribuição foi na área da geometria. Em 1871 descobriu que a geometria euclidiana e a não euclidiana podiam ser vistas como casos particulares de uma superfície projectiva, o que tornava equivalente a consistência das duas geometrias. Ainda no campo da geometria, Klein estudou a hoje chamada garrafa de Klein, uma superfície fechada não orientável.

Construção da Garrafa de Klein:

O Diagrama ao lado mostra um quadrado, para construir a Garrafa de Klein cole as bodas azuis e vermelhas conforme a orientação das bordas. Precisamente, a Garrafa de Klein é o espaço quociente descrito como o quadrado [0,1] × [0,1], com as faces identificadas pelas relações:

(0, y) ~ (1, y) para 0 ≤ y ≤ 1
( x, 0) ~ (1 - x, 1) para 0 ≤ x ≤ 1

Veja a seguir o vídeo com a construção da Garrafa de Klein.



Observações:

Usando esse "resumo" de colagem em um espaço de três dimensões obteremos uma superfície com auto-intersecção. Uma maneira de evitar essa auto-intersecção seria visualizar a Garrafa de Klein em um espaço de quatro dimensões. Ao adicionar uma quarta dimensão para o espaço tridimensional, a auto-intersecção pode ser eliminada deslocando suavemente o pedaço do tubo que contém a intersecção para fora do espaço tridimensional (para a quarta dimensão) .

Uma analogia útil: considere uma curva com auto-intersecção sobre o plano, as auto-intersecções podem ser eliminadas retirando (levantando) do plano uma pequena região onde ocorre a auto-intersecção.

A visualização da Garrafa de Klein no espaço 3D na realidade é uma imersão. Essa imersão será útil para visualizar algumas propriedades da garrafa de Klein.

Propriedades:

Uma garrafa de Klein é um espaço topológico obtido pela colagem de duas fitas de Möbius. Em síntese a Garrafa de Klein é uma superfície: compacta, conexa, não orientável e sem fronteira.

Sobre essa construção, eu achei um pequeno poema (limerick):

"O matemático chamado Klein
Pensava que a faixa de Möbius era divina.
Disse ele: "Se você colar
Os dois bordos da faixa,
Você criará uma garrafa estranha assim como eu."

Uma curiosidade:

Seis cores são suficientes para colorir qualquer mapa na superfície de uma garrafa Klein. Esta é a única excepção à conjectura de Heawood (uma generalização do teorema das quatro cores) que exigiria sete cores.

Finite Simple Group (of order two) - com legenda

Praticamente um musical da Disney!

Ladies and gentlemans, Finite simple group (of order two) by Klein four group.
OBS: Se a legenda do youtube não estiver habilitada, habilite-a no canto esquerdo inferior. Se tiver dúvida clique aqui.

The Klein Four é um grupo musical a cappella composto por cinco (apesar do nome) estudantes de matemática da Northwestern University, unidos na produção de um material "cômico" (quem acha?). Dentre as obras, a mais famosa é "Finite Simple Group (of Order Two)".

Finite Simple Group (of Order Two), ou grupo finito simples de ordem dois é uma música matemática bem complicadinha. Se você não compreendeu algumas piadinhas da música não se preocupe, eu também precisei buscar no google algumas definições para traduzir os trocadilhos.

A seguir, a letra original da música e algumas definições que te farão ao menos sorrir da próxima vez que ouvir a música (eu tenho certeza que você irá fazer isso !). Vale a pena conferir a análise de um verso do poema no final do post.

Para os experts em matemática já faço ressalvas, tive que adaptar algumas traduções.

Finite Simple Group (of Order Two)

The path of love is never smooth
But mine’s continuous for you
You’re the upper bound in the chains of my heart
You’re my Axiom of Choice, you know it’s true

But lately our relation’s not so well-defined
And I just can’t function without you
I’ll prove my proposition and I’m sure you’ll find
We’re a finite simple group of order two

I’m losing my identity
I’m getting tensor every day
And without loss of generality
I will assume that you feel the same way

Since every time I see you, you just quotient out
The faithful image that I map into
But when we’re one-to-one you’ll see what I’m about
‘Cause we’re a finite simple group of order two

Our equivalence was stable,
A principal love bundle sitting deep inside
But then you drove a wedge between our two-forms
Now everything is so complexified

When we first met, we simply connected
My heart was open but too dense
Our system was already directed
To have a finite limit, in some sense

I’m living in the kernel of a rank-one map
From my domain, its image looks so blue,
‘Cause all I see are zeroes, it’s a cruel trap
But we’re a finite simple group of order two

I’m not the smoothest operator in my class,
But we’re a mirror pair, me and you,
So let’s apply forgetful functors to the past
And be a finite simple group, a finite simple group,
Let’s be a finite simple group of order two
(Oughter: “Why not three?”)

I’ve proved my proposition now, as you can see,
So let’s both be associative and free
And by corollary, this shows you and I to be
Purely inseparable. Q. E. D.

Função suave (smooth fuction) : Uma função é dita suave se é diferenciável de ordem n para todo n natural.

Cadeias (chains): Em topologia algébrica e em álgebra homológica, um complexo de cadeias é uma sequência de grupos abelianos e homomorfismos que satisfazem certas propriedades.

Axioma da escolha: É um axioma da teoria dos conjuntos. Intuitivamente falando, o axioma da escolha diz que se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível pegar exatamente um objeto de cada cesta -- mesmo que haja um número infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada cesta deve ser escolhido.

Conjuntos Denso: Em topologia, um subconjunto S de um espaço topológico X diz-se denso se o fecho de S coincide com X. Equivalentemente, S é denso em X se qualquer vizinhança de qualquer ponto de X contiver um elemento de S.

Conjunto conexo: Um espaço topológico diz-se desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.

Existem obviamente outros infinitos conceitos tais como: continuidade, limitante superior, grupo, operadores, relações, núcleo, tensor, funtor, etc.... Quem tiver dúvida de algum deles deixa um comentário.

Análise do poema

Ficou claro na tradução da música que essa é uma canção para conquistar mulheres, não é mesmo ? Mas uma interessante parte da poesia me chamou a atenção:

"Nossa relação era estavel
O principal do amor esta ai dentro
Mas quando voce tornou nossa
forma bilinear antisimetrica
Agora tudo se tornou tao complexo"

Segundo a propriedade antisimétrica: a~b e b~a => a = b. Definindo a relação ~ como "gosta de" temos: ele gosta dela e ela gosta dele => ele é ela.

Moral da história: tornar sua relação amorosa antisimétrica equivale a terminar o namoro.