sexta-feira, 10 de abril de 2009

Um pouco mais do Teorema de Borsuk-Ulam

Há um tempo eu postei sobre o Teorema de Borsuk-Ulam e uma interpretação física para o resultado 2-dimensional também chamada de Teorema do Tempo. Basicamente o teorema garantia a existência de um par de pontos antípodas terrestres (sobre a esfera ) onde a temperatura e a pressão (funções contínuas sobre a esfera) coincidiam. A seguir apresento uma outra interpretação desse teorema.

A busca por uma representação contínua

Existe uma consequência geográfica do teorema de Borsuk-Ulam que aflige os geógrafos. A posição de um ponto sobre a Terra é dado por suas coordenadas geográficas: latitude e longitude . Elas podem ser consideradas funções sobre a esfera terrestre, que associam a cada ponto o par de valores e . Nesse sistema de coordenadas, os pólos possuem uma propriedade peculiar: a latitude dos pólos é 90 graus (Norte ou Sul) e a eles pode ser atribuída uma longitude arbitrária.

Assim, se caminharmos em sentido ao pólo norte ao longo de um meridiano e se continuarmos a nos mover ao longo de um outro meridiano de maneira a alcançar o pólo, nosso movimento será contínuo e a latitude variará continuamente, mas a longitude estará sujeita a uma descontinuidade. De fato, se atribuírmos o sinal positivo à longitude leste e o sinal negativo à longitude oeste então a longitude submete-se a uma descontinuidade quando cruzamos o meridiano que é antipodal ao meridiano de Greenwich. Uma questão que surge é:
Seria possível introduzir um sistema de coordenadas sobre toda a esfera, de tal forma que essas coordenadas sejam funções contínuas definidas sobre a esfera ?
Naturalmente, pontos diferentes devem possuir coordenadas diferentes. Segue do teorema de Borsuk-Ulam que isso é impossível. De fato, se coordenadas contínuas e fossem dadas sobre a esfera, existiria um par de pontos antipodais e em para os quais , ou seja, se representa a latitude e se representa a longitude do ponto , teríamos então que pontos antipodais, os quais são diferentes, teriam mesmas coordenadas. Nesse sentido é impossível definir latitude e longitude continuamente sobre a superfície da Terra.

A seguir o vídeo que eu encontrei no site do IMPA. Para quem não compreendeu direito as conclusões acima: Don't panic ! Assista ao vídeo, é muito interessante e lhe ajudará a compreender essa interpretação geográfica. Os efeitos gráficos são excelentes !

OBS: Se a legenda do youtube não estiver habilitada, habilite-a no canto esquerdo inferior. Se tiver dúvida clique aqui.





Para conferir toda a lista de vídeos, acesse o link abaixo
http://strato.impa.br/videos/Dimensions/EN/

2 comentários:

  1. realmente essa é uma teoria que é um pouco difícil de compreeder, contudo chega ser mágico visualizar as projeções de tdos pontos da esfera num ponto formando maps que nunca nem sonhariamos imaginar!!! A ciência e em especial a matemática é facinante e me encanta assim como um poema encanta um poeta!
    meus parabéns pelo trabalho e lhe desejo sorte e sucesso!

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  2. Que curioso hehe
    Muito interessante =P

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Gabriel Dias Pais

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