Capitalização continua

Independente da formação: administração, economia, ciencias exatas, etc) o calculo de juros é um dos assuntos da matemática mais conhecido por todos. Juros simples e compostos são frequentemente estudados em cursos de matemática financeira. A capitalização do dinheiro através de juros compostos chega a ser fascinante a um estudante de ensino médio, é possível mostrar a eles o crescimento em progressão geométrica do juros pagos por período ou o crescimento exponencial do montante devedor.

Exemplo 1

Uma taxa $i=0.1$ ao mês composta ao longo de um ano resulta em uma capitalização com taxa anual equivalente de $j=2.45$. De fato, $(1+i)^{12} = (1+j)$. A cada mês o montante do mês anterior é multiplicado pelo fator constante $(1+i)$ e o montante $C_{n}$ em função do capital inicial $C_{0}$, o numero de períodos capitalizados e a taxa de juros $i$ pode ser escrito como $C_{n} = C_{0} (1+i)^{n}$.

A capitalização do capital é o momento em que aplicamos a taxa de juros sobre o montante devedor, a capitalização pode ocorrer em tempos discretos (ao dia, ao mês, ao ano) ou ocorrer continuamente no tempo. Precisamente, a capitalização discreta pode ser calculada da seguinte forma:

Exemplo 2

Seja um capital inicial de $C_{0}$ rendendo a uma taxa $i$ de juros anual por um período de $n$ anos capitalizado $k$ vezes ao ano. O montante após $n$ períodos de capitalização $C_{n}$ pode ser obtido pela expressão: $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{i}{k})^{nk}$.

Quando $k=1$ temos a capitalização de juros compostos mais simples, quando taxa de juros está na mesma frequencia da capitalização. Observe que quanto maior $k$ maior o montante capitalizado. Veremos a seguir que esse crescimento converge, isto é, capitalizar continuamente não multiplicará o capital inicial por infinito, em verdade o fator multiplicador fica entre $2$ e $3$.

No exemplo acima temos que $n,k \in \mathbb{N}$ se fizermos $n,k \in \mathbb{R}$ e fizermos $k \rightarrow \infty$ obteremos uma capitalização instantânea do capital para uma taxa $r$.

Teorema

O montante $C_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sobre um capital inicial $C_{0}$ capitalizado continualmente ao longo do tempo a uma taxa $i$ ao longo do tempo $n>0$ é dado por $C_{n} = C_{0} e^{ni}$.

Prova:

Aplicando o limite quando $k \rightarrow \infty$ em $C_{n} = C_{0} (1 + i)^{nk}$ temos:

$$C_{n} = \lim_{k \rightarrow + \infty} C_{0} (1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

$$= C_{0} \lim_{k \rightarrow + \infty}(1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

Fazendo a mudança de variável $j=\frac{k}{i}$ temos $k \rightarrow \infty \Rightarrow j \rightarrow \infty$ e $k=\frac{j}{i}$. Temos então:

$$ C_{n} = C_{0} \lim_{k \rightarrow + \infty}(1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

$$= C_{0} \lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{nji} = C_{0} (\lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{j})^{ni}$$

Lembrando que $\lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{j} = e$ obtemos $C_{n} = C_{0} e^{ni}$.

O valor da taxa instantânea $i$ pode ser deduzido a partir da seguinte igualdade: $C_{0} (1+r)^{n} = C_{n} = C_{0} e^{ni} \Rightarrow i = ln(1+r)$

Obs:

O número $e$ ou número de Euller é um número irracional que vale aproximadamente $2,718$ e pode ser calculado através da série de Taylor $\Sigma_{\infty}^{n=0} \frac{1}{n!}$.

Conclusões

O emprego de capitalização continua do capital pode maximizar o montante final. Quanto mais frequente as capitalizações maior o montante, observe no entanto que esse crescimento é convergente.

As aplicações de capitalização continua são tratadas muito superficialmente na literatura acadêmica da área financeira e a falta de esclarecimento sobre a matéria permite encobrir a realidade das práticas bancárias. Acredito que uma mudança do ponto de vista dos exemplos poderia resolver o problema, abordando situações bancárias do ponto de vista do banco e não somente do tomador de crédito ou do pequeno financiador.