domingo, 20 de março de 2011

Capitalização continua


Independente da formação: administração, economia, ciencias exatas, etc) o calculo de juros é um dos assuntos da matemática mais conhecido por todos. Juros simples e compostos são frequentemente estudados em cursos de matemática financeira. A capitalização do dinheiro através de juros compostos chega a ser fascinante a um estudante de ensino médio, é possível mostrar a eles o crescimento em progressão geométrica do juros pagos por período ou o crescimento exponencial do montante devedor.

Exemplo 1

Uma taxa $i=0.1$ ao mês composta ao longo de um ano resulta em uma capitalização com taxa anual equivalente de $j=2.45$. De fato, $(1+i)^{12} = (1+j)$. A cada mês o montante do mês anterior é multiplicado pelo fator constante $(1+i)$ e o montante $C_{n}$ em função do capital inicial $C_{0}$, o numero de períodos capitalizados e a taxa de juros $i$ pode ser escrito como $C_{n} = C_{0} (1+i)^{n}$.

A capitalização do capital é o momento em que aplicamos a taxa de juros sobre o montante devedor, a capitalização pode ocorrer em tempos discretos (ao dia, ao mês, ao ano) ou ocorrer continuamente no tempo. Precisamente, a capitalização discreta pode ser calculada da seguinte forma:

Exemplo 2

Seja um capital inicial de $C_{0}$ rendendo a uma taxa $i$ de juros anual por um período de $n$ anos capitalizado $k$ vezes ao ano. O montante após $n$ períodos de capitalização $C_{n}$ pode ser obtido pela expressão: $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{i}{k})^{nk}$.

Quando $k=1$ temos a capitalização de juros compostos mais simples, quando taxa de juros está na mesma frequencia da capitalização. Observe que quanto maior $k$ maior o montante capitalizado. Veremos a seguir que esse crescimento converge, isto é, capitalizar continuamente não multiplicará o capital inicial por infinito, em verdade o fator multiplicador fica entre $2$ e $3$.

No exemplo acima temos que $n,k \in \mathbb{N}$ se fizermos $n,k \in \mathbb{R}$ e fizermos $k \rightarrow \infty$ obteremos uma capitalização instantânea do capital para uma taxa $r$.

Teorema

O montante $C_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sobre um capital inicial $C_{0}$ capitalizado continualmente ao longo do tempo a uma taxa $i$ ao longo do tempo $n>0$ é dado por $C_{n} = C_{0} e^{ni}$.

Prova:

Aplicando o limite quando $k \rightarrow \infty$ em $C_{n} = C_{0} (1 + i)^{nk}$ temos:

$$C_{n} = \lim_{k \rightarrow + \infty} C_{0} (1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

$$= C_{0} \lim_{k \rightarrow + \infty}(1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

Fazendo a mudança de variável $j=\frac{k}{i}$ temos $k \rightarrow \infty \Rightarrow j \rightarrow \infty$ e $k=\frac{j}{i}$. Temos então:

$$ C_{n} = C_{0} \lim_{k \rightarrow + \infty}(1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

$$= C_{0} \lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{nji} = C_{0} (\lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{j})^{ni}$$

Lembrando que $\lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{j} = e$ obtemos $C_{n} = C_{0} e^{ni}$.

O valor da taxa instantânea $i$ pode ser deduzido a partir da seguinte igualdade: $C_{0} (1+r)^{n} = C_{n} = C_{0} e^{ni} \Rightarrow i = ln(1+r)$

Obs:

O número $e$ ou número de Euller é um número irracional que vale aproximadamente $2,718$ e pode ser calculado através da série de Taylor $\Sigma_{\infty}^{n=0} \frac{1}{n!}$.

Conclusões

O emprego de capitalização continua do capital pode maximizar o montante final. Quanto mais frequente as capitalizações maior o montante, observe no entanto que esse crescimento é convergente.

As aplicações de capitalização continua são tratadas muito superficialmente na literatura acadêmica da área financeira e a falta de esclarecimento sobre a matéria permite encobrir a realidade das práticas bancárias. Acredito que uma mudança do ponto de vista dos exemplos poderia resolver o problema, abordando situações bancárias do ponto de vista do banco e não somente do tomador de crédito ou do pequeno financiador.

2 comentários:

  1. O blog é interessante com textos bem descontraídos. Mas neste post a uma falha onde usa a função logarítmica para provar o limite exponencial fundamental. Nesta passagem: "Seja a função f:R+→R dada por f(x)=ln(x). Logo f′(x)=1/x e portanto f′(1)=1", como é que eu sei que a derivada de ln x é 1/x sem usar o limite exponencial fundamental? pois preciso deste fato para não cair em um raciocínio circular. Sugiro que leia este post "O Número e" do blog Fatos Matemáticos.

    ResponderExcluir
  2. 1) Nao aceito post anonimo.

    2) De fato, fazendo a derivada de ln(x) pela definicao temos que usar o limite exponecial para concluir que vale 1/x, logo a prova nao esta consistente.

    ResponderExcluir

 
Gabriel Dias Pais

Criar seu atalho