Um problema em aberto na matemática

Por vezes até mesmo os problemas já solucionados da matemática são complicados de entender quem dirá então os não solucionados ...

Pois bem caros leitores, o meu desafio será fazê-los compreender (não me peça mais do que isso !) um interessante problema em aberto da matemática.

Vocês estão prontos ? Eu estou !


Campo de estudo: Topologia Geométrica.
Objetivo: Classificar n-variedades compactas. (Não desista da leitura por causa dos nomes, tudo ficará definido em breve ...)

VARIEDADES

O conceito topológico de superfície ou variedade de dimensão dois é uma abstração matemática do conceito de superfície de uma folha de papel. Uma variedade de dimensão dois é um espaço topológico com as mesmas propriedades locais do Plano Euclidiano. Se imaginássemos um ser microscópico e inteligente com um campo visual limitado movendo-se sobre uma variedade, ele não a distinguiria de um plano. As variedades são uma das classes mais importantes de espaços topológicos e o nosso maior interesse é o estudo de variedades compactas e conexas de dimensão dois: as chamadas superfícies.

Definição [variedade]: Uma n-variedade M é um espaço topológico de Hausdorff com base enumerável e tal que para cada x em M, existem um aberto aberto U de M, com x em U e um homeomorfismo f: U -> V, onde V subconjunto aberto do R^n. Uma variedade de dimensão dois é chamada uma superfície.

Observe as figuras abaixo. A Terra é quase uma esfera, certo ? No entanto uma pessoa (com campo de visão limitado) andando sobre a superfície da Terra tem a impressão de que ela é plana. A Esfera é uma superfície.

Outros exemplos de superfícies são o Toro (rosquinha), e o Plano Projetivo (ver definição detalhada).

Trataremos aqui destes três exemplos de superfícies que são básicos, no sentido de que qualquer outra superfície pode ser obtida a partir destas através de uma operação chamada soma conexa.

SOMA CONEXA DE SUPERFÍFICIES

Dadas duas superfícies A e B, podemos obter uma nova superfície removendo um disco aberto de cada uma delas e colando o restante ao longo de seus bordos. Esse novo objeto obtido a partir dessa operação de colagem é chamado soma conexa das superfícies A e B e é denotado por M = A # B. Podemos iterar essa operação para obter a soma conexa de um número finito de superfícies.


A esfera S é o elemento neutro da operação soma conexa, ou seja, se M é uma superfície, então M # S é homeomorfa à esfera S.


TRIANGULARIZAÇÂO DE SUPERFÍCIES

Um procedimento útil no estudos das superfícies compactas é asubdivisão desses espaços em "regiões triangulares". Esse processo é chamado triangulação da superfície. O teorema a seguir, provado por Tibo Radó em 1925, garante que toda superfície fechada admite uma triangulação.

Teorema [T. Radó]: Toda superfície fechada (compacta e sem bordo) admite uma triangulação.

Observe que esse resultado é relativamente recente!

ORIENTAÇÂO DE SUPERFÍCIES

Dada uma triangulação de uma superfície compacta S, fixar uma orientação nessa superfície é dar um sentido de percurso em todos os triângulos de S. Se ao percorrermos cada um destes triângulos verificarmos que as arestas em comum são percorridas em sentidos opostos, dizemos que a superfície S é orientável. Caso contrário, S é não orientável.

CLASSIFICAÇÂO DE SUPERFÍCIES COMPACTAS

Teorema: Toda superfície compacta orientável é homeomorfa a uma esfera ou a uma soma conexa de toros. Toda superfície não orientável é homeomorfa a uma soma conexa de planos projetivos.

História da prova

O estudo da classificação de superfícies compactas foi um dos problemas estudados no século XX e que deram origem à Topologia moderna. August Ferdinand Moëbius matemático alemão foi o primeiro a estudar a classificação de superfícies em 1870, quando provou o Teorema da classificação de superfícies para superfícies orientáveis. A primeira prova para superfícies não orientáveis foi apresentada por Walther von Dick porém estava incompleta, posteriormente Max Dehn apresentou a primeira prova rigorosa do teorema assumindo que toda toda superfície poderia ser triangularizável. A prova da triangularização de superfícies foi provada somente em 1925 por Tibo Radó e concluiu portanto a prova.


FINALMENTE O PROBLEMA EM ABERTO

Um dos grandes problemas abertos hoje na Matemática é a obtenção de um resultado análogo ao Teorema da Classificação de Superfícies Compactas para 3-variedades.

Nota: Esse problema matemático em aberto não faz parte dos Problemas do Milênio de Hilbert mas com certeza trará muito prestígio a quem conseguir obter esse resultado análogo.

Por fim, gostaria de agradeçer a leitura até aqui e deixar o espaço aberto para comentários.

Minha atual Iniciação Científica faz um estudo sobre o Teorema da Classificação de Superfícies e uma comparação da prova encontrada em [Massey] com a prova apresentada em [Lee].

DOWNLOAD E-BOOKS

[Massey] Massey, W. S., Algebraic Topology: an introduction. Harcout, Brace World. (1967).

[Lee] Lee, J. M., Introduction to Topological Manifolds. Springer-Verlag, New York. (2000).