Era 08:00 hs de um sábado 2 de maio, o frio deixava meus dedos duros e inflexíveis. Eu me apresentava durante o coffe-break de um seminário na Ufscar. Entre uma música e outra, toquei o tema do filme Cinema Paradiso. A plateia, apesar de parecer gostar, continuava com aquela expressão: "Que bonitinho!". Pensei, a plateia talvez aprecie algo bem fanfarrão so, lets do it !.
Se apresentando, Gabriel Dias Pais (violino), Pavel Dodonov (percussão) em uma coletânea capaz de fazer mozart se revirar no túmulo ...
Há algumas semanas eu discuti em um post a relação entre a música e matemática e no caso como a música se beneficiou das ferramentas matemáticas para desenvolver as escalas, campos harmônicos, e toda a complexa teoria musical que temos hoje.
De forma semelhante surge uma questão. Será que a matemática de alguma forma já beneficiou a música ? Pesquisando o tema na internet eu encontrei muito material, muito mito e portanto muita confusão. Para desmistificar o assunto eu recorri a especialistas da área de ciência cognitiva (área que já trabalhei em um projeto de IC, computação bioinspirada).
O efeito Mozart
Nos últimos anos, frases como ‘a música deixa o ser humano mais inteligente’ ou ‘ele estuda música e por isso é muito bom de raciocínio’ podem ser ouvidas em diversos ambientes – em conversas informais entre amigos, em círculos familiares, na televisão e até mesmo em contextos educacionais. Geralmente, quando estas frases são pronunciadas, há uma tendência natural em associarmos o aprendizado musical a atributos ou rendimentos em outras áreas do conhecimento. Um exemplo disso foi o chamado ‘Efeito Mozart’, que causou (e ainda causa) muita polêmica. Há cerca de uma década, a disseminação prematura pela mídia dos resultados de uma investigação científica preliminar deu origem ao famigerado ‘Efeito Mozart’, nome atribuído a uma pequena melhoria em um sub-teste (habilidades espaciais) do famoso teste Stanford Binet de inteligência ocorrida logo após a audição de uma determinada obra musical de W.A. Mozart. Seus pesquisadores, compararam a performance de ratos de laboratório e de estudantes universitários em condições sonoras variadas, como no silêncio e na presença de peças de Mozart e Phillip Glass, e concluíram que a audição da música de Mozart causava um progresso temporário nas habilidades espaciais de seus participantes. O ‘Efeito Mozart’, que hoje é marca registrada, deu origem a uma verdadeira febre de consumo da música de Mozart e de programas ‘mágicos’ de educação musical, que prometiam desenvolver bebês mais inteligentes e mais aptos a obterem um lugar em universidades famosas como a renomada Universidade de Yale.
O mito
A discussão acerca da existência de uma relação causal entre a música e a matemática é bastante antiga. A própria história da música fornece uma possível explicação para tamanho interesse nesta relação. Na Antigüidade, por exemplo, tanto a música quanto a matemática faziam parte dos conhecimentos dos indivíduos ilustrados e respeitados socialmente por suas capacidades intelectuais. Além disso, há muitas relações matemáticas contidas na própria estrutura musical, o que torna bastante próxima a relação entre as duas áreas. Contudo, não existe na literatura nenhuma relação causal entre a aprendizagem musical e as habilidades matemáticas, isto é, não existem estudos que comprovam o aprendizado musical como elemento de ‘melhoria’ ou aperfeiçoamento das habilidades matemáticas. O que as pesquisas mostraram que alunos bons em música eram também bons alunos de matemática, e de outras disciplinas. Segundo pesquisas, é possível que não exista necessariamente uma relação causal sólida entre a música e a matemática, mas que os alunos matriculados em cursos e aulas de música sejam alunos mais aplicados que a média, sendo, portanto, bons alunos também na matemática. Portanto é preciso muito cuidado com as generalizações já que não há nenhuma garantia de que ao aprender uma disciplina o aluno terá sucesso na outra.
Conclusões do autor do Blog
Ao meu ver a existência de diversos mitos, alguns dos quais estabelecidos há muito tempo, e que vêm sendo disseminados pela mídia, e transmitidos (ou retransmitidos) em conversas, informais e acadêmicas consistem um grande problema para a difusão do ensino e apreciação da música. Estes mitos afetam (e muito) as práticas musicais realizadas em conservatórios e escolas de música de todo o país, bem como afastam muitos indivíduos daquilo que entendo como motivações ‘reais’ para o ensino e aprendizado musical.
Mozart com a palavra
"Quer saber como eu componho? Posso dizer-lhe apenas isto: quando me sinto bem disposto, seja na carruagem quando viajo, seja de noite quando durmo, ocorrem-me idéias aos jorros, soberbamente. Como e donde, não sei. As que me agradam, guardo-as como se tivessem sido trazidas por outras pessoas, retenho-as bem na memória e, uma após a outra, delas tomo a parte necessária, para fazer um pastel segundo as regras do contraponto, da harmonia, dos instrumentos, etc. Então, em profundo sossego, sinto aquilo crescer, crescer para a claridade de tal forma que a obra mesmo extensa se completa na minha cabeça e posso abrangê-la de um só relance, como um belo retrato ou uma bela mulher... Quando chego neste ponto, nada mais esqueço, porque boa memória é o maior dom que Deus me deu."
Para não perder a viagem ...
Uma das minhas obras preferidas de Mozart. A flauta mágica (Die Zauberflöte).
A música é freqüentemente definida como a linguagem universal. Uma linguagem incrivelmente direta que transpoe língua e lógica, que fala diretamente com a alma. A matemática por sua vez é a ciência do raciocínio lógico e abstrato. Ela envolve uma permanente procura da verdade. É rigorosa e precisa.
Observando apenas os significados podemos ter a falsa sensação de dois mundos desconexos. Hoje sabemos que a propagação do som obedece equações matemáticas e existem relações diretas entre escalas, tons, semi-tons e os conhecidos conceitos matemáticos de razão, proporção, sequência logarítma entre outros.
A seguir um documentário exibido na TV Cultura sobre a história dessa relação entre a música e matemática. Eu achei muito interessante a abordagem pois não requer conhecimentos prévios de música ou matemática.
Instruções: siga o lik para o youtube para assistir o documentário completo (36min divididos em 7 partes). Aqui.E depois volte ao blog para ler os comentários de um matemático músico. Matemática x Música. Desde quando ?
Logo no começo, o documentário apresenta de forma bastante informal a visão de alguns músicos sobre a relação: matemática e música. É engraçada como essa visão é abordada, a música não é relacionada com a matemática pela simples contagem do tempo ! Aqui veremos que a relação entre a música e a matemática é intensa e antiga. Muitas pessoas contribuiram para a construção musical que temos hoje. Duas pessoas na minha opnião merecem lugar de destaque: Pitágoras e Bach. Vamos conhecê-los.
Pitágoras
Pitágoras, o velho e conhecido pitágoras do triãngulo. Pela primeira vez na história ele estabeleceu uma relação matemática entre os diversos sons. A ele é creditado a descoberta do intervalo de uma oitava como sendo referente a uma relação de frequência de 2:1, uma quinta em 3:2, uma quarta em 4:3, e um tom em 9:8. Os seguidores de Pitágoras aplicaram estas razões ao comprimento de fios de corda em um instrumento chamado cânon, ou monocorda, e, portanto, foram capazes de determinar matematicamente a entonação de todo um sistema musical. Os pitagóricos viam estas razões como governando todo o Cosmos assim como o som, e Platão descreve em sua obra, Timeu, a alma do mundo como estando estruturada de acordo com estas mesmas razões. Para os pitagóricos, assim como para platão, a música se tornou uma natural extensão da matemática, bem como uma arte. A matemática e as descobertas musicais de Pitágoras foram, desta forma, uma crucial influência no desenvolvimento da música através da idade média na Europa. A seguir a representação da chamada escala pitagórica.
Observe que a escala pitagórica forma uma espiral e assim diferentes oitavas tem diferentes afinações.
A criação das escalas pitagóricas não foram suficientes, e com o passar do tempo e com o desenvolvimento da música utilizando-se modulação e transposição, tornou-se necessária a adequação da escala musical. Embora várias idéias tenham sido apresentadas, a escala musical que solucionou de forma mais satisfatória todos os problemas das anteriores foi a escala igualmente temperada ou, simplesmente, escala temperada. A seguir a representação da escala temperada. Observe que ela forma um círculo e portanto diferentes oitavas tem o mesmo tipo de afinação.
Essa escala possui como característica fundamental o fato da relação matemática entre as freqüências de notas de um mesmo intervalo ser sempre igual, ou seja, a proporção entre as freqüências de duas notas distantes uma da outra de um semitom é sempre a mesma, não importando quais duas notas sejam (ex: C e C# ou G e G#). O temperamento igual foi proposto em 1691, por Andreas Werkmeister.
Bach
Nessa época Johann Sebastian Bach, músico e compositor que dispensa apresentações, escreveu uma série de 24 prelúdios e fugas, cobrindo as 24 tonalidades maiores e menores, chamada de O Cravo Bem-Temperado. Este certamente foi o primeiro trabalho que se tem registro que explora todas as tonalidades, apresentado logo após a proposta de Werkmeister. A maioria dos livros registra que J.S. Bach era um entusiasta do temperamento igual nas doze notas da escala musical e isso teria o motivado a escrever a série de prelúdios. Bach escreveu muitas das suas músicas para a igreja luterana, em particular as suas cantatas forma compostas para as missas dominicais e cerimônias de sexta-feira santa. Entre as características sobressalentes de J. S. Bach encontra-se o domínio de complexos e engenhosos contrapontos. Bach tinha um estilo próprio de compôr, segundo os especialistas uma composição quase matemática. A oferenda musical de Bach está recheada de interessantes peculiaridades.
"Bach (riacho, em alemão) deveria se chamar Ozean (oceano) e não Bach!" Beethoven.
Particularmente, eu concordo com Beethoven pois a contrinuição de Bach para a música faz jus a imesidão de um oceano.
Quem sou eu? Músico e matemático. Começei meus estudos musicais em 1993, na época com 8 anos estudei teoria musical e solfejo, tão logo eu adquiri conhecimentos mínimos eu começei a estudar violino com Sergio Vanzzola na minha cidade natal Osasco. Participei de orquestras juvenis (Projeto Guri) e Orquetras Jovens (Orq Jovem de Barueri e Villa Lobos). Meu interesse por música sempre foi amplo e na adolescência decidi também estudar piano, violão clássico e viola. Nunca exerci a música como profissão apesar de eventualmente dar aulas. Em 2005 ingressei no curso de Bacharelado em Matemática na Universidade de São Paulo - USP, morando em São Carlos desde então sou integrante do Coral Multicanto (voz tenor). Estou terminando minha graduação e espero um dia ter tempo para me dedicar mais a música.
Bibliografia recomendada Gödel, Escher, Bach: um entrelaçamento de Gênios Brilhantes (geralmente chamado GEB) é um livro vencedor do Prémio Pulitzer escrito pelo acadêmico norte-americano Douglas Hofstadter. Foi publicado em 1979 pela Basic Books. Edição traduzida para Português em 2001 por José Viegas Filho.
Tanto em teoria musical como em equações diferenciais existem materiais em abundância para quem quiser aprofundar seus conhecimentos nessa relação tão especial, música e matemática. Para quem quiser entender um pouco mais sobre teoria musical eu recomendo o livro de Osvaldo Lacerda, para divisão musical o Pozzoli e para solfejo o tradicional Bona. Para equações diferenciais eu recomendo o livro de Valeria Iório publicação do IMPA.
Ladies and gentlemans, Finite simple group (of order two) by Klein four group. OBS: Se a legenda do youtube não estiver habilitada, habilite-a no canto esquerdo inferior. Se tiver dúvida clique aqui.
The Klein Four é um grupo musical a cappella composto por cinco (apesar do nome) estudantes de matemática da Northwestern University, unidos na produção de um material "cômico" (quem acha?). Dentre as obras, a mais famosa é "Finite Simple Group (of Order Two)".
Finite Simple Group (of Order Two), ou grupo finito simples de ordem dois é uma música matemática bem complicadinha. Se você não compreendeu algumas piadinhas da música não se preocupe, eu também precisei buscar no google algumas definições para traduzir os trocadilhos.
A seguir, a letra original da música e algumas definições que te farão ao menos sorrir da próxima vez que ouvir a música (eu tenho certeza que você irá fazer isso !). Vale a pena conferir a análise de um verso do poema no final do post.
Para os experts em matemática já faço ressalvas, tive que adaptar algumas traduções.
Finite Simple Group (of Order Two)
The path of love is never smooth But mine’s continuous for you You’re the upper bound in the chains of my heart You’re my Axiom of Choice, you know it’s true
But lately our relation’s not so well-defined And I just can’t function without you I’ll prove my proposition and I’m sure you’ll find We’re a finite simple group of order two
I’m losing my identity I’m getting tensor every day And without loss of generality I will assume that you feel the same way
Since every time I see you, you just quotient out The faithful image that I map into But when we’re one-to-one you’ll see what I’m about ‘Cause we’re a finite simple group of order two
Our equivalence was stable, A principal love bundle sitting deep inside But then you drove a wedge between our two-forms Now everything is so complexified
When we first met, we simply connected My heart was open but too dense Our system was already directed To have a finite limit, in some sense
I’m living in the kernel of a rank-one map From my domain, its image looks so blue, ‘Cause all I see are zeroes, it’s a cruel trap But we’re a finite simple group of order two
I’m not the smoothest operator in my class, But we’re a mirror pair, me and you, So let’s apply forgetful functors to the past And be a finite simple group, a finite simple group, Let’s be a finite simple group of order two (Oughter: “Why not three?”)
I’ve proved my proposition now, as you can see, So let’s both be associative and free And by corollary, this shows you and I to be Purely inseparable. Q. E. D.
Função suave (smooth fuction) : Uma função é dita suave se é diferenciável de ordem n para todo n natural. Cadeias (chains): Em topologia algébrica e em álgebra homológica, um complexo de cadeias é uma sequência de grupos abelianos e homomorfismos que satisfazem certas propriedades.
Axioma da escolha: É umaxioma da teoria dos conjuntos. Intuitivamente falando, o axioma da escolha diz que se você tiver uma coleção de cestas, cada qual contendo pelo menos um objeto, então é possível pegar exatamente um objeto de cada cesta -- mesmo que haja um número infinito de cestas e não haja nenhuma regra que estabeleça qual objeto de cada cesta deve ser escolhido.
Conjuntos Denso: Em topologia, um subconjunto S de um espaço topológico X diz-se denso se o fecho de S coincide com X. Equivalentemente, S é denso em X se qualquer vizinhança de qualquer ponto de X contiver um elemento de S.
Conjunto conexo: Um espaço topológico diz-se desconexo se contém dois abertos complementares não vazios. Em caso contrário diz-se conexo.
Existem obviamente outros infinitos conceitos tais como: continuidade, limitante superior, grupo, operadores, relações, núcleo, tensor, funtor, etc.... Quem tiver dúvida de algum deles deixa um comentário.
Análise do poema
Ficou claro na tradução da música que essa é uma canção para conquistar mulheres, não é mesmo ? Mas uma interessante parte da poesia me chamou a atenção:
"Nossa relação era estavel O principal do amor esta ai dentro Mas quando voce tornou nossa forma bilinear antisimetrica Agora tudo se tornou tao complexo"
Segundo a propriedade antisimétrica: a~b e b~a => a = b. Definindo a relação ~ como "gosta de" temos: ele gosta dela e ela gosta dele => ele é ela.
Moral da história: tornar sua relação amorosa antisimétrica equivale a terminar o namoro.
