My mathematician's apology

Não estou no fim da vida (esse é o meu palpite) mas desde já compartilho com vocês minha experiência, justificativa e motivação para estudar Matemática. Recomendo a leitura da obra que inspirou esse post: A mathematician's apology do matemático inglês G. H. Hardy .

No final do ano em que me formei (2009) encontrei esse livro no Google (resultado de uma busca quase heurística pela web). Nessa época eu já tinha construído a minha própria justificativa e sempre recorria a ela nos momentos mais difíceis do semestre (sim ... principalmente durante a época de provas). Não é fácil justificar aos amigos e parentes os cinco anos dedicados ao estudo de teorias que não pertencem ao senso comum (podem incluir nesse senso comum o conhecimento dos famigerados e mortais universitários). Geralmente quando você tenta explicar o que estuda a um não matemático você percebe quão cruel e impiedosa é a matemática: ela segrega. Não importa o quão esforçado você seja em desmistificar o assunto trocando nomes difíceis por exemplos, mostrando aplicações ou mostrando evidencias no mundo real, a imagem que sobra da conversa é que você provavelmente é um gênio. As pessoas em geral não sabem classificar um problema matemático em muito ou pouco difícil, encontrar uma solução para uma EDP ou demonstrar a Hipótese de Riemann pertencem a mesma classe de problemas. A antiga máxima que diz : em terra de cego quem tem um olho é rei continua valida, isto é, eu posso ser considerado bom em matemática porque a grande maioria é péssima.

A minha carreira foi construída baseada em uma idéia (e aí vem a minha justificativa). Eu acredito que a matemática separa o joio do trigo (ontem, hoje e sempre). Seja em vestibular, concurso publico, exames de seleção ou em situações da vida real. Existem assuntos que todo mundo sabe um pouco (não citarei disciplinas para não ser indelicado) mas convenhamos: saber o que todo mundo sabe não é diferencial nenhum ! Por isso me dediquei a estudar os assuntos comuns (o mínimo necessário) e na medida do possível me destacar em assuntos como matemática, física e computação. Saber matemática por sí só não era o meu objetivo. Eu tinha em mente usar a matemática como uma ferramenta para resolver problemas em geral, e pra mim isso define a Matemática Aplicada. Um polvo poderia caracterizar perfeitamente um matemático aplicado: um tentáculo em cada área da ciência (by Briellen)

Fora da academia, pensando agora no mundo capitalista, sabemos que um funcionário vale (em termos de remuneração) uma proporção do que ele gera de resultado ($) para a empresa onde trabalha. Uma empresa precisa de informações para tomar decisões, quanto melhor forem essas informações melhor as decisões tomadas e portanto melhor os resultados obtidos. Podemos concluir então que as empresas estão em busca de pessoas que sabem capturar informações no mercado para a melhorar a tomada de decisão e em troca disso estão dispostas a oferecer uma remuneração generosa. O matemático aplicado certamente é um candidato de peso nessa disputa. No mundo do senso comum isso pode soar estranho porque o matemático está sempre associado ao professor secundário mal remunerado, enquanto que no mundo real os matemáticos aplicados (pela definição podem ser portanto físicos ou engenheiros) estão no topo da cadeia alimentar (Oh yes, we can !). Felizmente, eu segui minha ideia até o fim e não me deixei desanimar com as dificuldades eminentes.

Existem outras motivações além das motivações acadêmicas e profissionais citadas. Certamente um matemático de deve possuir aptidão para realizar cálculos e propor soluções inovadoras para problemas diversos. Deve ainda ter disciplina nos estudos e praticar muito os cálculos. O resultado de todas motivações deve ser expresso quase como um sentimento de devoção, parecido com: calculo logo existo.

Nem tudo são flores e a matemática assim como outra carreira requer dedicação e muito esforço. A curiosidade é inata ao ser humano, toda criança tem a essência de um cientista, com o passar dos anos algumas ficam preguiçosas e passam a aceitar conclusões prontas enquanto outras seguem a vida toda elaborando hipóteses, experimentando e criando modelos próprios.

Tanto Hardy como Pinshon falam sobre o impacto do desenvolvimento da matemática no "mundo real" e no texto acima eu mencionei a dificuldade de justificar o estudo de matemática para pessoas de "senso comum". O "mundo real" é o universo (Flatland) conhecido das pessoas de "senso comum".

Interessante pensar como o uso da palavra "mundo real" pode ser distorcido: um físico ou químico estuda o "mundo real", o matemático não. Simplesmente porque a maior parte das teorias matemáticas não encontram uma aplicação nos problemas cotidianos atuais. Diversas teorias atómicas foram propostas ao longo do tempo, a mecânica clássica teve que ser remendada pela quântica e tantos outros exemplos nos mostram que os físicos e químicos estudam na verdade um "mundo imaginário", adaptado e customizado para explicar o que eles conseguem ver ou entender. Enquanto que o mundo verdadeiramente "real" é para mim, o objeto de estudo dos matemáticos: nunca mudou e nunca mudará.

Um pouco sobre o livro

Em 1940 o matemático inglês G. H. Hardy tinha 63 anos quando escreveu o célebre (no mundo nerd eu diria) livro intitulado "A mathematician's apology". Seu livro reflete obviamente uma visão sobre a matemática e os matemáticos de seu tempo no entanto alguns fundamentos do livro seguem verdade até os dias de hoje e arrebanham seguidores e leitores como eu. O livro é recomendado para matemáticos e não matemáticos mas sinceramente se você não e físico, matemático ou no mínimo engenheiro, busque outro entretenimento.

Apesar de ser um livro matemático, Hardy não abusa de definições, teoremas e corolários. Existem ao todo duas provas no livro: a demonstração da irracionalidade da raiz de dois (quase um cliché matemático) e a prova da existência de infinitos números primos. O livro é bem estruturado e logo de inicio deixa bem claro a sua intenção: justificar o estudo da matemática, nada mais. O caracter subjetivo da opinião de Hardy quase passa despercebido na construção tão precisa dos argumentos e justificativas baseados na experiência de um matemático de Cambridge do inicio do século passado. Um dos pontos centrais do livro e para mim a mensagem mais valiosa é a caracterização do que ele chama de "verdadeira matemática" e como apreçar o valor de um teorema ou de uma teoria matemática pela valor que ela agrega a outras teorias.

É simplesmente fantástica a definição de verdadeira matemática de Hardy. Não vou defini-la aqui para não tirar a motivação do leitor mas já adianto que segundo Hardy a verdadeira matemática não pertence ao senso comum, isto é, se perguntar a alguém na rua a definição de matemática e alguns exemplos onde usamos a matemática (certamente citarão as operações básicas de aritmética de coisas, porcentagem de preços, etc.) não estaremos nem perto daquilo que Hardy define como a "verdadeira matemática".

O valor de uma teoria esta diretamente relacionado com o beneficio que essa teoria traz a área em questão bem como a outras áreas da ciência. Teorias que interligam áreas normalmente revelam informações ocultas e respondem questões em aberto. Hardy em seu livro enumera algumas propriedades desejáveis de uma teoria, em especial a capacidade de ligar teorias ate então desconexas e fortalecer a matemática como um todo. Novamente, essa margem do blog será muito estreita para mostrar os argumentos de Hardy, leiam o livro.

Download: Mathematician's apology.

Desenvolvimento Ágil

O scrum pode salvar o seu projeto, acredite !

O mundo mágico de Escher

Caros leitores,

Hoje tive o privilegio de conhecer de perto as 92 obras do artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher (1898 - 1972) que estão expostas no Centro Cultural Banco do Brasil. Compõem o acervo pinturas, desenhos, xilogravuras, videos, um documentário e um filme 3D.

O mundo mágico de Escher retrata a partir do cotidiano situações impossíveis: desafia nossa capacidade de separar o mundo real de ilusões de optica. Espelhos, luzes e um pouco de matemática se transformam em escadas que sobem ate o infinito, fractais usando lagartos, peixes e pássaros e muita confusão mental. O artista ficou conhecido por suas construções mágicas brincando com o preenchimento regular do plano, as explorações do infinito e as metamorfoses - padrões geométricos entre cruzados que se transformam gradualmente em formas completamente diferentes.

A cada figura um novo desafio mental. Escher, um gênio!

"Olhando de olhos abertos os enigmas que nos rodeiam e ponderando e analisando as minhas observações, entro em contato com os domínios da matemática. Embora não tenha qualquer formação e conhecimento das ciências exatas, sinto-me frequentemente mais ligados aos matemáticos do que aos meus próprios colegas de profissão." (ESCHER, 2004, p. 6).

Pra quem quiser saber um pouco sobre a vida e obra de Escher:

http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/opombo/seminario/escher/

http://www.frasario.com.br/frases-e-pensamentos-de-maurits-cornelis-escher.html

A seguir alguns dos trabalhos mais interessantes.

Capitalização continua

Independente da formação: administração, economia, ciencias exatas, etc) o calculo de juros é um dos assuntos da matemática mais conhecido por todos. Juros simples e compostos são frequentemente estudados em cursos de matemática financeira. A capitalização do dinheiro através de juros compostos chega a ser fascinante a um estudante de ensino médio, é possível mostrar a eles o crescimento em progressão geométrica do juros pagos por período ou o crescimento exponencial do montante devedor.

Exemplo 1

Uma taxa $i=0.1$ ao mês composta ao longo de um ano resulta em uma capitalização com taxa anual equivalente de $j=2.45$. De fato, $(1+i)^{12} = (1+j)$. A cada mês o montante do mês anterior é multiplicado pelo fator constante $(1+i)$ e o montante $C_{n}$ em função do capital inicial $C_{0}$, o numero de períodos capitalizados e a taxa de juros $i$ pode ser escrito como $C_{n} = C_{0} (1+i)^{n}$.

A capitalização do capital é o momento em que aplicamos a taxa de juros sobre o montante devedor, a capitalização pode ocorrer em tempos discretos (ao dia, ao mês, ao ano) ou ocorrer continuamente no tempo. Precisamente, a capitalização discreta pode ser calculada da seguinte forma:

Exemplo 2

Seja um capital inicial de $C_{0}$ rendendo a uma taxa $i$ de juros anual por um período de $n$ anos capitalizado $k$ vezes ao ano. O montante após $n$ períodos de capitalização $C_{n}$ pode ser obtido pela expressão: $C_{n} = C_{0} (1 + \frac{i}{k})^{nk}$.

Quando $k=1$ temos a capitalização de juros compostos mais simples, quando taxa de juros está na mesma frequencia da capitalização. Observe que quanto maior $k$ maior o montante capitalizado. Veremos a seguir que esse crescimento converge, isto é, capitalizar continuamente não multiplicará o capital inicial por infinito, em verdade o fator multiplicador fica entre $2$ e $3$.

No exemplo acima temos que $n,k \in \mathbb{N}$ se fizermos $n,k \in \mathbb{R}$ e fizermos $k \rightarrow \infty$ obteremos uma capitalização instantânea do capital para uma taxa $r$.

Teorema

O montante $C_{n}:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ sobre um capital inicial $C_{0}$ capitalizado continualmente ao longo do tempo a uma taxa $i$ ao longo do tempo $n>0$ é dado por $C_{n} = C_{0} e^{ni}$.

Prova:

Aplicando o limite quando $k \rightarrow \infty$ em $C_{n} = C_{0} (1 + i)^{nk}$ temos:

$$C_{n} = \lim_{k \rightarrow + \infty} C_{0} (1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

$$= C_{0} \lim_{k \rightarrow + \infty}(1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

Fazendo a mudança de variável $j=\frac{k}{i}$ temos $k \rightarrow \infty \Rightarrow j \rightarrow \infty$ e $k=\frac{j}{i}$. Temos então:

$$ C_{n} = C_{0} \lim_{k \rightarrow + \infty}(1 + \frac{i}{k})^{nk}$$

$$= C_{0} \lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{nji} = C_{0} (\lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{j})^{ni}$$

Lembrando que $\lim_{j \rightarrow + \infty}(1 + \frac{1}{j})^{j} = e$ obtemos $C_{n} = C_{0} e^{ni}$.

O valor da taxa instantânea $i$ pode ser deduzido a partir da seguinte igualdade: $C_{0} (1+r)^{n} = C_{n} = C_{0} e^{ni} \Rightarrow i = ln(1+r)$

Obs:

O número $e$ ou número de Euller é um número irracional que vale aproximadamente $2,718$ e pode ser calculado através da série de Taylor $\Sigma_{\infty}^{n=0} \frac{1}{n!}$.

Conclusões

O emprego de capitalização continua do capital pode maximizar o montante final. Quanto mais frequente as capitalizações maior o montante, observe no entanto que esse crescimento é convergente.

As aplicações de capitalização continua são tratadas muito superficialmente na literatura acadêmica da área financeira e a falta de esclarecimento sobre a matéria permite encobrir a realidade das práticas bancárias. Acredito que uma mudança do ponto de vista dos exemplos poderia resolver o problema, abordando situações bancárias do ponto de vista do banco e não somente do tomador de crédito ou do pequeno financiador.

Entenda a crise grega

Como o meu co-orientador diz, nada como uma boa crise para aprender como funciona o mercado financeiro. A ultima oportunidade para entender os complicados e imprevisíveis comportamentos do mercado financeiro em crise havia sido a dois anos (em 2008 com a crise imobiliária norte americana). Eu sou sortudo, acabei de entrar no ramo e já tive o privilegio.

A seguir uma analise qualitativa da crise europeia, aos mais aficcionados por modelos aguardem, prometo vomitar equações e teorias complexas para explicar porque o Euro agora é conhecido pelo símbolo ao lado.

Era uma vez …

A historia começa na década passada, quando a Grécia gastou bem mais do que podia, pedindo empréstimos pesados e deixando sua economia refém da crescente dívida. Nesse período, os gastos públicos foram às alturas, e os salários do funcionalismo praticamente dobraram. Enquanto os cofres públicos eram esvaziados pelos gastos, a receita era atingida pela evasão de impostos.

As Agencias de Rating

Chega o dia em que o credor bate na porta e esse dia chegou para a Grécia. Em 2009 as contas do pais estavam no vermelho, com deficit orçamental de 13,6% do PIB e uma imagem frente aos investidores nada boa. Em 2010 a Grécia precisa refinanciar 50 bilhões de divida publica e os investidores vao cobrar caro por isso. Existem Agencia internacionais que com base em dados económicos de países e empresas fazem uma classificação de credito, sao as Agencias de Rating (Moodys, Standard & Poors, etc). Os investidores acreditam muito no trabalho dessas agencias e se baseiam nessas classificações para administrar os investimentos, comprar, vender e calcular o prémio (juros) das carteiras de investimento. Por exemplo, a Alemanha tem Rating (classificação) Aaa, a melhor atribuição de credito e paga um investimento um prémio de cerca de 4%. A Grecia, que actualmente caiu ao pior Rating de credito 'junk' (ou lixo em inglês) deve pagar pelo mesmo financiamento cerca de 10% de prémio. A Grecia estava sem saída, nao tinha como honrar os compromissos, nao obtinha credito e o calote parecia inevitável.

Lembra do FMI ?

A grecia 'pediu agua' no dia 23/04. Assumiu a situação que se encontrava e solicitou uma ajuda ao FMI (Fundo Monetario Internacional) e UE (Uniao Europeia). O plano de ajuda Europeu consistia basicamente de duas componentes: um empréstimo com juros fora de mercado (bem mais barato) e uma 'cartiha fiscal' que a grecia deveria seguir para conseguir efetuar o pagamento do empréstimo. Tudo tem um preco, e o preco pela algazarra grega na ultima década sera seguir a tal 'cartilha fiscal' que consiste resumidamente em gastar menos e arrecadar mais. Fechar a torneira no bom português. Houve uma série de protestos populares no país, alguns violentos.

As bolsas ao redor do mundo

Quando eu disse "uma oportunidade para entender os complicados e imprevisíveis comportamentos do mercado financeiro em crise" eu falava serio. O mercado em crise é capaz de colocar qualquer modelo matemático, estatístico, económico de joelhos. Clemencia ! Qual o comportamento do mercado ? Pra onde vai o Dolar ? E o Euro ? Como ficam as minhas acoes PETR4 ? E preciso observar, levantar hipóteses, alguns experimentos. Os físicos sabem muito bem do que estamos falando. Os padrões estão escondidos, os modelos precisam de parâmetros, e as pessoas precisam de informação para tomarem as decisões certas. O comportamento e humano e a tarefa nao sera fácil. Ibovespa, DownJones, Nasdaq, DAX sucumbiram. O Euro virou 'banana'.

Existem outras economias enfraquecidas na UE, ultrapassar o limite imposto pela UE de 3% do PIB para a divida publica nao e exclusividade da Grecia. Portugal, Espanha (11,2%), Irlanda (14,3%), Italia (5,4%) ficaram sob suspeita e tiveram Ratings reavaliados recentemente. A moeda comum desvalorizada prejudica outros país da UE, imagine que a Alemanha tenha que efetuar um pagamento amanha em dólar, com o Euro desvalorizado esse pagamento vai pode ser inviável, em economias mais enfraquecidas esse pagamento pode se tornar um Default (calote).

Hoje

Os mercados ainda operam no vermelho, a Bovespa acumula perda no mês, o Euro ainda nao esboçou uma reacao definitiva mas o plano da UE foi aceito pela Grécia e no dia 19/05 a Grécia ja havia recebido a primeira das três parcelas do empréstimo e pode honrar um dos compromissos do ano enfim esfriar os ânimos do mercado. A Alemanha numa tentativa isolada de conter a crise proibiu vendas a descoberto (modalidade de negociação em que alguém vende algum ativo financeiro ou derivativo que não possui, esperando que seu preço caia para então comprá-lo e lucrar na transação). A previsão dos analistas e de que o mercado se reequilibre num horizonte próximo.

No Brasil

O Brasil vivia um momento muito positivo antes da crise, a estimativa de 5,5% de crescimento da economia vinha sendo constantemente batida com valores próximos a 7%, o mercado estava tao aquecido que o COPOM (comité de política monetária) ajustou o juros para cima numa tentativa de conter um crescimento descontrolado e com inflação. A Crise afetou o mercado brasileiro, o IBovespa caiu mas por enquanto as estimativas de crescimento mantêm os números pre crise. O impacto dessa crise para os brasileiros em geral poderia ser percebida como a falta de credito do mercado, o aumento dos juros em empréstimos e financiamentos ou mesmo o encarecimento de produtos importados uma vez a crise pode afetar a balança económica e a cotação da moeda.

Inspiração para escrever artigos

Precisando de uma inspiração para escrever artigos ? O Prof Smith sabe como inspirar seus alunos ... kkk

Uma colher de chá pra quem não sabe inglês:

Prof Smith: Antes de terminar nossa reunião, existe uma chamada de artigos para congressos em Steubenville (cidade americana do estado de Ohio) ...

Aluno 1: Hum, sei não prof Smith ...

Aluno 2: Tenho muito trabalho pra fazer ...

Aluno 1: Não tenho um resultado final significativo ...

Aluno 2: Preciso de mais dados

Prof Smith: Ok, bem ... existe uma outra chamada de artigos para um congresso no Havai (ilha americana conhecida por belas praias) ...

Aluno 1: Quem precisa de resultados significativos ?

Aluno 2: Ninguém disse que tem que ser dados experimentais ...

Aluno 3: Não existe congresso nenhum no Havai né Prof Smith ?

Prof Smith: Droga, eu te ensinei demais Slackenerny (Aluno 3) !

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